Интегрированный подход к изучению физики и математики в профильных классах

Синцова Юлия Валерьевна, учитель физики высшей квалификационной категории
МАОУ «Лицей №131» Вахитовского района г. Казани

Математический аппарат, изучаемый в школе, запаздывает по отношению к потребностям физики. Таким образом, большую часть знаний учащиеся приобретают и осваивают без должного математического аппарата. Данная ситуация приводит к тому, что на первых курсах вузов физико-математического профиля у студентов отсутствие математической подготовки мешает качественному усвоению механики, молекулярной физики и термодинамики, в которых законы формулируются в дифференциальной и интегральной форме.

Одним из выходов из данной ситуации мы считаем проведение в старших классах школы интегрированных уроков по физике и математике, на которых учителем физики недавно изученный математический аппарат, такой как векторы, тригонометрия, производные, интегралы и дифференциальные уравнения, применяется к решению физических задач. При этом тема по физике, фигурирующая в задачах, может быть пройдена более года назад, а новые знания помогают учащимся взглянуть на нее с другой стороны. Например, связь между ускорением, скоростью и координатой материальной точки легко устанавливается с помощью дифференцирования и интегрирования.

Межпредметные связи углубляют содержание урока, повышают его познавательную ценность, возбуждают интерес к раскрытию связей между разными предметами. Однако при этом наблюдается значительное напряжение памяти, мыслительных и волевых процессов.

Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения.

Многие задачи физики приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это обусловлено тем, что практически все физические законы, описывающие физические процессы, являются дифференциальными уравнениями относительно некоторых функций, характеризующих эти процессы. Данные физические законы представляют собой теоретическое обобщение многочисленных экспериментов и описывают эволюцию искомых величин в общем случае, как в пространстве, так и во времени. В частности, второй закон Ньютона является не чем иным, как дифференциальным уравнением второго порядка.

Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений.

Приведем примеры физических задач, использовавшихся на интегрированном уроке по физике и математике «Дифференциальные уравнения»:

1. Частица движется в положительном направлении оси х так, что ее скорость меняется по закону , где α – положительная постоянная. В момент частица находилась в точке . Найти ее скорость и ускорение как функции времени.

2. Найти период свободных колебаний горизонтального пружинного маятника, если движение груза массы m, прикрепленного к пружине жесткости k, происходит без сопротивления.

3. Тело охладилось за 10 мин от до . При этом температура окружающего воздуха поддерживается равной . Когда тело остынет до ? В задаче принять, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

4. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества? В задаче использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент.

В начале урока учитель физики на примере данных задач обрисовывает проблему и ставит цель урока: научиться решать новый тип появившихся уравнений. Затем он дает определение дифференциального уравнения и указывает различные способы его решения, в зависимости от вида. При этом, например, к уравнению гармонических колебаний учащиеся могут только подобрать решение в виде линейной комбинации гармонических функций зависимости координаты от времени и проверить, что данное решение подходит, дважды продифференцировав координату по времени и подставив в исходное уравнение. Единственность существования такого решения строго доказывается в курсе математического анализа. Уравнения с разделяющими переменными, к которым приводят задачи 1 и 3 вполне по силам для решения учащимся 11 класса.

При изучении гармонических колебаний математического и пружинного маятников, а также процессов, происходящих в LC-контуре, формулы для периода и частоты соответствующих колебаний легко получить из общего вида дифференциального уравнения гармонических колебаний.

Как и в случае дифференциальных уравнений, изучение в курсе математического анализа определенного интеграла дает возможность расширить класс физических задач, при решении которых требуется найти площадь произвольной фигуры. Характерным примером использования определенного интеграла в термодинамике является нахождение работы газа в произвольном процессе, если известна функциональная зависимость давления от объема. В кинематике знание зависимости координаты от времени дает возможность найти пройденный путь, используя определенный интеграл.

Еще одним способом применения математического аппарата к физическим задачам является его опережающее изучение в рамках факультатива по физике. Так как факультатив посещают наиболее заинтересованные и способные учащиеся, уже с конца 8 класса становится возможным знакомить их с математическими знаниями, выходящими за рамки текущей школьной программы. Подобный способ очень хорошо себя зарекомендовал при подготовке школьников к олимпиадам по физике различного уровня.